1、数学证明 开普勒第一定律的证明 　　设太阳与行星质量分别 M和m，取平面极作标系，行星位置用（r,α）来描述。

(资料图)

2、如图行星位置矢量 是垂直单位矢量。

3、　　开普勒定律行星受太阳引力为F=-(GMm/r)r° 首先证明行星一定在同一平面内运动，有牛顿第二定律：F=m(dv/dt) 　　力矩r×F=-(GMm/r)r°×r°=0.即r×(dv/dt)=0。

4、　　d(r×v)/dt=×v+r×dv/dt=0。

5、　　积分，得r×v=h(常矢量)　　上式表明，行星径矢r始终与常矢量h正交，故行星一定在同一平面内运动。

6、　　为了得出行星运动的轨迹，采用图中平面极坐标方向，取静止的太阳为极点o，行星位置为(r,α).在平面 极坐标中，行星运动有关物理量如下：　　径行r=r﹒r° ；速度v=dr/dt=(dr/dt)﹒r°+r﹒(dα/dt)﹒α° 　　r°是径向单位矢量，α°为径向垂直单位矢量。

7、　　dr/dt是径向速度分量， r﹒(dα/dt)是横向速度分量　　速度大小满足v²=(dr/dt)²+( r﹒(dα/dt))² 　　动量mv=m(dr/dt)+m( r﹒(dα/dt))　　角动量L=r×mv=m·r²(dα/dt)·(r°×α°)　　得L=m·r ²·(dα/dt)　　行星所受的太阳引力指向o点，故对o点力矩M=0，由角动量定理，知角动量守恒。

8、L为常量　　太阳行星系统的机械能守恒，设系统总能量为E，则　　E=½mv²-GMm/r 　　因 α/dt=L/mv² dr/dt= (L/mv²)(dr/dα)代入上式　　(L²/m²r²r²)(dr/dα)²+ L²/m²r=2E/m+2GM/r　　上边两式同乘m²/ L²，得　　dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L²+2Mm²/L²r　　为了简化式子，令ρ=1/r.则dr/dα=-r²(dρ/dα)　　于是方程变为（dr/dα）²+ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L²　　上式对α求导。

9、并注意E与L为常量。

10、得　　2（dr/dα）（d²r/dα²）+2ρ(dρ/dα) 开普勒第二定律的证明 　开普勒定律　开普勒第二定律是这么说的：在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。

11、O为恒星，直线AC为行星不受引力时的轨迹。

12、设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。

13、现在假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。

14、现在行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段 　　 时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。

15、因此，t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。

16、这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。

17、因此，SΔBC’O=SΔABO。

18、因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。

19、 开普勒第三定律的证明 　　在图中，A，B分别为行星运动的近日点和远日点，以Va和Vb分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见Va和Vb的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为 SA=1/2rAvA=1/2(a-c)vA……………………………………{1} 　　sB=1/2rBvB=1/2(a+c)vB　　根据开普勒第二定律，应有SA=SB，因此得 　　vB=[(a-c)/(a+c)]vA……………………………………………{2}　　行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为　　EA=1/2m(vA)^2-(GMm)/rA=1/2m(vA)^2-(GMm)/(a-c)…………{3}　　Eb=1/2m(Vb)^2-(GMm)/rB=1/2m(vB)^2-(GMm)/(a+c)　　根据机械能守恒，应有EA=EB，故得　　1/2m[（vA）^2-(vB)^2]=GMm[1/(a-c)-1/(a+c)]……………………{4}　　由{2}{4}两式可解得　　（vA）^2={(a+c)GM}/{a(a-c)}………………………………{5}　　（vB）^2={(a-c)GM}/{a(a+c)}　　由{5}式和{1}式得面积速度为　　SA=SB=S=（b/2）√[(GM)/a]　　椭圆的面积为( 兀ab ) ,则得此行星运动周期为　　T=（兀ab）/S=2兀a√a/(GM)…………………………{6}　　将{6}式两边平方，便得　　(a)^3/(T)^2=(GM)/4（兀）^2。

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